Chứng minh a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b) – Đáp án và lời giải
Đề bài yêu cầu thực hiện hai việc: chứng minh hai đẳng thức đại số và áp dụng tính giá trị cụ thể.
1) Chứng minh: a³+b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b).
2) Chứng minh: a³−b³ = (a−b)³ + 3ab(a−b).
Áp dụng: Tính a³+b³, biết ab = 6 và a+b = −5.
Đáp án đúng: a³+b³ = −35. Thay ab = 6 và a+b = −5 vào đẳng thức đã chứng minh, ta tính được kết quả chính xác là −125 + 90 = −35.
Chứng minh hai đẳng thức
Cả hai đẳng thức đều được chứng minh theo cùng một chiến lược: biến đổi vế phải về vế trái bằng cách khai triển lập phương và rút gọn. Đây là cách làm chuẩn mực, tránh biến đổi đồng thời hai vế — một lỗi phổ biến của học sinh khi mới tiếp cận bài chứng minh đẳng thức.
Đẳng thức 1: a³+b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b)
Khai triển vế phải:
(a+b)³ − 3ab(a+b)
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ − 3a²b − 3ab²
= a³ + b³
Hai hạng tử 3a²b và −3a²b triệt tiêu nhau; tương tự 3ab² và −3ab² cũng triệt tiêu. Phần còn lại đúng bằng vế trái. Đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức 2: a³−b³ = (a−b)³ + 3ab(a−b)
Khai triển vế phải:
(a−b)³ + 3ab(a−b)
= a³ − 3a²b + 3ab² − b³ + 3a²b − 3ab²
= a³ − b³
Cơ chế triệt tiêu hoàn toàn tương tự đẳng thức 1, chỉ khác dấu do khai triển (a−b)³ sinh ra các số hạng âm dương xen kẽ.
Áp dụng: Tính a³+b³ khi ab = 6 và a+b = −5
Từ đẳng thức vừa chứng minh, a³+b³ được tính trực tiếp mà không cần biết giá trị riêng lẻ của a và b:
a³+b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b)
= (−5)³ − 3 · 6 · (−5)
= −125 − (−90)
= −125 + 90
= −35
Điều đáng chú ý: bài chỉ cho tích ab và tổng a+b, không cho a, b riêng lẻ — đây chính là lý do đẳng thức này hữu ích. Nó biến bài toán “tìm lập phương” thành bài toán thay số thuần túy.
Điểm dễ tính sai và cần cẩn thận
Lỗi hay gặp nhất nằm ở bước tính (−5)³. Nhiều học sinh nhầm thành +125 vì quên rằng lũy thừa bậc lẻ của số âm vẫn âm: (−5)³ = (−5) × (−5) × (−5) = −125.
Lỗi thứ hai là tính −3 · 6 · (−5) rồi ghi nhầm thành −90 thay vì +90. Cách kiểm tra nhanh: tích của ba thừa số có hai dấu âm (−3 và −5) và một dấu dương (6) → tổng số dấu âm là chẵn → kết quả dương → +90.
Một lưu ý nhỏ trong bài giải gốc: dòng “= −5³ + 3·6·5” trình bày hơi tắt, có thể gây hiểu nhầm về thứ tự tính toán. Nên viết đầy đủ (−5)³ để tránh sai dấu.
Mẹo ghi nhớ và nhận diện dạng bài tương tự
Hai đẳng thức này là dạng “tách lập phương tổng/hiệu” — cấu trúc ngược lại so với hằng đẳng thức quen thuộc a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²). Khi gặp bài cho tổng và tích của hai số, yêu cầu tính tổng lập phương hoặc hiệu lập phương, đây là công thức cần dùng ngay.
Cách nhớ đẳng thức 1: “lập phương tổng trừ đi ba lần tích nhân tổng”. Đẳng thức 2 hoàn toàn đối xứng: thay tổng bằng hiệu, đổi dấu trừ thành cộng. Hai công thức này thường xuất hiện cùng nhau trong cùng một bài, vì vậy nắm vững một cái là suy ra cái kia tức thì.